公考 AI 讲解行测 · 数量关系
行测 · 数学运算 17 考点01 / 16
17
行测 · 数量关系

数学运算

17 大高频考点 · 题型识别与套路化解题
看特征 · 判模型 · 套公式——90 秒锁定思路

17 大高频考点4 大题型族3 大速解工具
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行测 · 数学运算 17 考点02 / 16
OVERVIEW · 考点全景

17 个考点归入四族：先认族，再套对应套路

17大高频考点，题库覆盖工程、行程、计数、几何等全部常考模型
90s单题超时无思路立刻跳过，先扫选项决定是否代入排除
60%先保基础题，再争中档题，不恋战难题
1

比例模型族

工程 · 行程 · 浓度 · 经济利润——抓不变量，赋值法与比例法破题

2

计数族

排列组合 · 概率 · 容斥 · 抽屉——分类分步，背熟公式，正难则反

3

经典模型族

鸡兔同笼 · 植树 · 方阵 · 年龄 · 日期 · 牛吃草——认出模型直接套公式

4

几何优化族

几何 · 统筹 · 不定方程 · 和差倍比——公式打底，代入排除收尾

考场次序：工程、容斥、年龄、周期、浓度 优先做 选项是一组数 → 先代入排除 含分数、比例、倍数 → 先想 整除特性
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考点 01 · 工程问题

只给完工时间：总量赋最小公倍数，效率立刻变整数

总量 = 效率 × 时间 只给时间：总量赋各时间的最小公倍数 合作：合效率 = 各队效率之和
例题
一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。两人合作，多少天可以完成？
A. 5　B. 6　C. 7　D. 8

信号：只有各自时间、没有总量——赋值后效率全是整数，避免分数运算。

逐步解析（按 → 揭示）
1赋工作总量为 10 与 15 的最小公倍数 30。
2效率：甲 = 30÷10 = 3，乙 = 30÷15 = 2，合效率 = 3+2 = 5。
3合作时间 = 30÷5 = 6 天，选 B。
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考点 02 · 行程问题（一）相遇与追及

相向用速度和，同向用速度差

相向相遇：S = （v₁ + v₂）× t 同向追及：S = （v₁ − v₂）× t 环形路线：每合走一圈迎面相遇一次
例题（追及）
弟弟以 60 米/分的速度从家出发，5 分钟后哥哥以 80 米/分的速度沿同一路线追赶。哥哥出发后多少分钟追上弟弟？
A. 10　B. 12　C. 15　D. 20

信号：同点同向、一先一后——典型追及，先求出发时的路程差。

逐步解析（按 → 揭示）
1追及开始时路程差 = 60 × 5 = 300 米。
2速度差 = 80 − 60 = 20 米/分。
3追及时间 = 300 ÷ 20 = 15 分钟，选 C。
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考点 02 · 行程问题（二）流水行船 · 牛吃草

水速一加一减；牛吃草抓「净消耗」

流水行船
v顺 = v船 + v水　　v逆 = v船 − v水
牛吃草模型（设每头牛每天吃 1 份，草匀速生长）
原有草量 =（牛数 − 每天新长草量）× 天数
例题（流水行船）
一艘船在静水中速度为 20 千米/时，水流速度 4 千米/时。它从甲港顺水到乙港用了 5 小时，从乙港逆水返回甲港需多少小时？
A. 6　B. 6.5　C. 7.5　D. 8
逐步解析（按 → 揭示）
1顺水速度 = 20+4 = 24 千米/时，两港距离 = 24 × 5 = 120 千米。
2逆水速度 = 20−4 = 16 千米/时。
3返回时间 = 120 ÷ 16 = 7.5 小时，选 C。
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考点 03 · 经济利润

利润率的分母是成本；打折乘的是零点几

利润率 = 利润 ÷ 成本 售价 = 成本 ×（1 + 利润率） 打 N 折 = 原价 × N/10
例题（打折）
某商品成本 100 元，商家按成本提高 50% 标价，节日期间打八折售出。这笔交易的实际利润率是？
A. 15%　B. 20%　C. 25%　D. 30%

分段计费（出租车、水电费）先按区间分别计价，再把各段费用相加。

逐步解析（按 → 揭示）
1标价 = 100 ×（1+50%）= 150 元。
2八折售价 = 150 × 0.8 = 120 元。
3利润率 =（120−100）÷ 100 = 20%，选 B。
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考点 05 · 排列组合

先判有序无序，再定 A 还是 C；相邻捆绑、不相邻插空

分类用加法，分步用乘法 A(n,m) 有序排列；C(n,m) 无序组合 相邻→捆绑法；不相邻→插空法
例题（捆绑法）
5 人排成一排合影，其中甲、乙两人必须相邻，共有多少种不同排法？
A. 24　B. 36　C. 48　D. 120

信号：「必须相邻」——先捆成整体排，再乘内部排列。

逐步解析（按 → 揭示）
1捆绑：把甲乙视为 1 个整体，与其余 3 人共 4 个元素。
2整体排列 A(4,4) = 24；甲乙内部 A(2,2) = 2。
3分步相乘：24 × 2 = 48 种，选 C。
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考点 06 · 概率问题

古典概型数情况；看到「至少」先想对立事件

P = 满足条件情况数 ÷ 总情况数 分类相加，分步相乘 「至少 / 至多」：P = 1 − 对立事件概率
例题（对立事件）
同时抛掷 3 枚均匀硬币，至少出现 1 枚正面朝上的概率是？
A. 1/2　B. 3/4　C. 7/8　D. 1

信号：「至少 1 枚」要分三类，正难则反——算「全反」一步到位。

逐步解析（按 → 揭示）
1对立事件 = 3 枚全部反面朝上。
2P（全反）= 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8。
3P（至少一正）= 1 − 1/8 = 7/8，选 C。
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考点 07 · 容斥原理

重叠部分被多算，按公式减回去

容斥公式
两集合：A + B − A∩B = 总数 − 都不满足
三集合：A + B + C − AB − AC − BC + ABC
例题（两集合）
某班共 45 人，参加数学兴趣小组 25 人、英语小组 20 人，两个小组都不参加的有 8 人。两个小组都参加的有多少人？
A. 6　B. 8　C. 10　D. 12
逐步解析（按 → 揭示）
1至少参加一个小组：45 − 8 = 37 人。
2设都参加的有 x 人，代入公式：25 + 20 − x = 37。
3x = 45 − 37 = 8 人，选 B。
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考点 10 · 最值问题（抽屉原理）

「至少……才能保证」：先构造最倒霉情况，再加 1

问法标志：至少 …… 才能保证 …… 保证数 = 最不利情况数 + 1 和定最值：求某人最多 → 让其他人最小
例题（最不利构造）
一副扑克牌共 54 张（含大王、小王各 1 张）。至少抽出多少张，才能保证其中有 4 张是同一花色？
A. 13　B. 14　C. 15　D. 16
逐步解析（按 → 揭示）
1最不利：四种花色各抽 3 张，共 4 × 3 = 12 张。
2大小王不属于任何花色，也可能先被抽到：12 + 2 = 14 张，仍不满足。
3保证数 = 最不利 + 1 = 14 + 1 = 15 张，选 C。
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考点 04 · 几何问题

勾股数直接背；直角三角形是几何题的入口

3-4-5
9 + 16 = 25
勾股数
5-12-13
25 + 144 = 169
勾股数
6-8-10
36 + 64 = 100
勾股数
8-15-17
64 + 225 = 289
勾股数
2πr
圆周长
公式
πr²
圆面积
公式
k²
相似面积比
长度比 k
k³
相似体积比
长度比 k
例题（勾股定理）
一架长 13 米的梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端距墙 5 米。梯子顶端距地面多少米？
A. 10　B. 11　C. 12　D. 13
逐步解析（按 → 揭示）
1墙、地面与梯子构成直角三角形：斜边 13，一条直角边 5。
2h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144。
3h = √144 = 12 米，选 C。
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MODEL · 经典模型速查

五个套路模型：认出题型，公式直接套

鸡兔同笼 · 假设法
兔数 =（总脚数 − 2×总头数）÷（4−2）；鸡数 = 总头数 − 兔数
植树问题 · 三式
两端栽 = 段数 + 1　　环形 = 段数　　楼间（两端不栽）= 段数 − 1
方阵问题（每边 n 人）
最外层 = 4(n−1)　　总人数 = n²　　相邻两层相差 8
年龄问题
年龄差永远不变：多年后每人同步增减，差值恒定
周期与日期
星期 7 天一循环：过 n 天 → n ÷ 7 取余；「隔 n 天」= 每 n+1 天
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考点 08 / 11 / 16 · 浓度 · 和差倍比 · 不定方程

混合用十字交叉，整数方程用尾数与代入排除

浓度 = 溶质 ÷ 溶液；混合前后溶质守恒 比例 a∶b 设为 ax、bx，按和差倍比列方程 不定方程：奇偶、整除、尾数三招缩小范围
十字交叉法（两种浓度 c₁、c₂ 的溶液混合，质量为 m₁、m₂）
m₁∶m₂ =（c混 − c₂）∶（c₁ − c混）
例题（不定方程 · 代入排除）
办公室购买单价 8 元与 5 元的两种笔记本，共花费 49 元。8 元的笔记本买了多少本？
A. 2　B. 3　C. 4　D. 5
逐步解析（按 → 揭示）
1设 8 元的 x 本、5 元的 y 本：8x + 5y = 49。
2尾数法：5y 尾数为 0 或 5，故 8x 尾数为 9 或 4；8x 是偶数，尾数只能为 4。
3选项中 x = 3 时 8×3 = 24，y =（49−24）÷5 = 5，恰为整数，选 B。
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TOOLBOX · 四大速解工具

方法轮：看到信号，立刻切换对应工具

速解方法
适用信号
标准操作
代入排除
选项是一组具体数字：年龄、个数、不定方程
从中间项起代，符合全部条件即选
数字特性
题干出现分数、比例、倍数、百分数
整除 / 尾数 / 奇偶三招快速筛除选项
方程法
和差倍比关系明确、求具体数量
比例设 ax、bx，依据「共、是几倍、多几」列方程
特值赋值
只给时间或比例、所求为比值 / 合作量
总量赋最小公倍数，未知成本赋 100

读题顺序：先扫选项定工具（是一组数就代入），再读条件列关系；90 秒无思路先跳过，回头用代入排除兜底。

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PRACTICE · 实战综合题

综合题 = 老模型 + 多一步：拆阶段、正难则反

例题一 · 工程分段（先独做再合作）
一项工程，甲单独做 15 天完成，乙单独做 10 天完成。甲先单独做 5 天，剩余部分由两人合作完成，还需多少天？
A. 3　B. 4　C. 5　D. 6
思 1拆阶段：总工程 = 甲独做 5 天 + 两人合作。
思 2只给时间：总量赋 15 与 10 的最小公倍数 30。
思 3路线：先算甲做完的余量，再除以合作效率。
解析（按 → 揭示）
1效率：甲 = 30÷15 = 2，乙 = 30÷10 = 3，合效率 = 5。
2甲 5 天完成 2×5 = 10，剩余 30−10 = 20。
3还需 20÷5 = 4 天，选 B。
例题二 · 组合计数（至少一名女生）
从 4 名男生、3 名女生中选出 3 人参加比赛，要求至少 1 名女生，共有多少种选法？
A. 30　B. 31　C. 32　D. 35
思 1选人不排序 → 用组合 C，不用排列 A。
思 2「至少 1 名女生」分类较繁 → 正难则反。
思 3算法：总选法 − 全是男生的选法。
解析（按 → 揭示）
1总数：C(7,3) = 7×6×5 ÷ 6 = 35。
2反面（全是男生）：C(4,3) = 4。
3所求 = 35 − 4 = 31 种，选 B。
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行测 · 数学运算 17 考点16 / 16
SUMMARY · 避坑与复习路径

三周走完四族，把 17 个考点练成肌肉记忆

第 1 周 · 比例模型族工程 / 行程 / 浓度 / 经济利润——每天攻 1 类，赋值法打底
第 2 周 · 计数族排列组合 / 概率 / 容斥 / 抽屉——背熟公式，练正难则反
第 3 周 · 经典与几何鸡兔 / 植树 / 方阵 / 年龄 / 日期 / 几何 + 不定方程代入排除
冲刺期每天限时 12 分钟做 5 题，错题按「信号 → 方法」归因
避坑 1：利润率的分母是成本不是售价；「打 N 折」乘 N/10，别当成降价 N/10。
避坑 2：排列组合先判有序还是无序（A 还是 C）；「至少 / 至多」优先对立事件，别硬分类。
避坑 3：工程行程先统一单位（千米与米、小时与分钟），赋值后用同一总量回算效率。